Two outlooks on the nature of the infinite: Georg Cantor and Ludwig Wittgenstein

Valiev Georgii Post-graduate student, the department of Philosophy, National Research University “Higher School of Economics” 101000, Russia, g. Moscow, ul. Staraya Basmannaya, 21/4 valievg@bk.ru

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-011-00582

Бесконечность как предел и исток математического мышления

Слова Гильберта о том, что математику уже не получится изгнать из подаренного Кантором рая, следовало бы уточнить. Не получится изгнать только лишь потому, что «рай», открытый Кантором, той математике, которая нам известна со времен Евклида, был всегда необходимым образом присущ. Заслугой Кантора в этом отношении является то, что он дал понять, как этот рай устроен (невзирая на «открывшиеся парадоксы» его теории) и показал математикам, где они находятся, находились и, если желают оставаться собой, будут находиться.

Этот рай – рай бесконечности. Теория множеств Кантора, получившая название «наивной теории множеств», пусть и критиковалась современниками и потомками, но всё же выявила корневые предпосылки известного нам математического знания. Математические положения (аксиомы и выводимые из них) черпают свою истинность в том, что область их определения предполагается в качестве некоторого готового для рассмотрения «объекта». При этом каждый объект, находящийся в рассматриваемой области, в качестве своего raison d'être ссылается на некоторое общее положение. Таким образом имеет место круговое обоснование. Экспликация работы этого рекурсивного обоснования впервые была предоставлена канторовской теорией множеств. В этом смысле она оказывается не ещё одной, пусть и весьма или самой фундаментальной областью математического знания, но является примером математики par excellence, т. е. демонстрацией того, как она вообще только и может работать.

Названный выше способ обоснования математики как логико-дедуктивного рассмотрения сферы математического (объектов ton mathematikon) присущ ей со времен Евклида. Особенностью такого рассмотрения является необходимость прибегать к суждениям, требующим бесконечной области определения: суждениям, касающимся «всех чисел», «всех точек», «всего пространства» etc. Более того, математические предложения в рамках, например, математического анализа или геометрии, говорящие лишь о конечных величинах или конкретных объектах, всё равно «получают» свою истинность от высказываний, опирающихся на бесконечную область определения. Потому такая область определения, согласно Кантору, с необходимостью должна быть чем-то вроде «актуальной бесконечности», а «потенциальная бесконечность» в таком случае является уловкой [5. с. 262-267]. Бесконечность должна обладать мощностью, способностью (Machtigkeit, potestas) par excellece, т. е. быть способной на все: «Слово “мощность” [Machtigkeit], возможно, лучше всего передать на греческом языке словами “tò krátos”, на латыни – “potestas” или “plenitudo”, на французском – “puissanse” или новообразованием “valence”, на английском – “power” или “mighttiness”, на итальянском – “podesta”» [5. с. 249]. Способность на все означает полноту потенциала для разворачивания любого счета, способность развернуть любой порядок, выстроить систему любой ординальности.

Смысл этой уловки можно объяснить следующий образом: когда потенциальную бесконечность определяют как «возможность продолжать», то эта возможность оказывается уже всегда предзаданной для той или иной операции. Иными словами, в этой «потенциальной бесконечности» не существует никакой возможности продолжить иначе, она является уже предрешенной, т. е. такой областью, в которой всевозможные будущие решения уже вполне определенным образом предлежат. В этом смысле такая бесконечность, где всевозможные решения уже содержатся, а нашим применением операции лишь в качестве таковых извлекаются на свет, все равно остается именно «актуальной». В том рекурсивном обосновании, на котором неизбежно стоит математика, требуется именно актуальная бесконечность, причем как в экстенсивном, так и в интенсивном смысле. Это же касается интуиционистской математики, где канторовская актуальная бесконечность заменяется на континуум как «среду свободного становления» [2. с. 122] – становление является свободным лишь постольку, поскольку оно самым жестким образом подчинено закону натурального ряда, «содержащегося в разуме». Свобода здесь понимается как незаполненность пустой области, предлежащей лишь для неотступного от закона акта становления [см. 9. pp. 82-83]. Закон операции, пустота области и акт, её заполняющий, остаются непоколебимо актуальными.

Г. Кантор: внешнее обоснование математических операций

Даже в греческой математике, у Евклида, возможность соизмерять несоизмеримое (например, построить прямоугольный треугольник с несоизмеримыми катетами и гипотенузой) связана с имплицитным признанием «существования» несчетных бесконечных множеств. (Имплицитность выражается в присущей Евклиду осторожности: числом греческий математик называет то, что мы теперь называем рациональным числом, а то, что мы называем числом иррациональным, он именует величиной. Более широким термином здесь является именно величина: «Соизмеримыми величинами называются измеряемые одной и той же мерой, несоизмеримыми же – для которых никакая общая мера не может быть образована» [4. с. 101]). В противном случае (т. е. без признания несчётных бесконечных множеств) необходимые построения не могли бы быть сделаны, поскольку у двух несоизмеримых величин всё-таки не находился бы «где-то в бесконечном пределе» общий элемент (вспомним здесь снова о прямоугольном треугольнике или даже об окружности). Геометрическая фигура является «наглядным» изображением численной соизмеримости величин. Именно этим обусловлена возможность уже в евклидовой геометрии считать иррациональные константы числами или чем-то вроде чисел; и именно поэтому евклидова геометрия легко превратилась в аналитическую геометрию Декарта (принципиальная разница лишь одна – введение в последнюю жёсткой точки отсчета, т. е. единственного начала координат) и в пространство дифференциального и интегрального счисления.

Кантор прекрасно понимал, что своей теорией открывает лишь то, что математике всегда уже было присуще и этим самым возвращает её к подлинному основанию: «(...) т. к. (...) даже “конечные” иррациональные числа нельзя обосновать с научной строгостью без решительного привлечения к делу актуально бесконечных множеств, то усилия обоих, особенно Кронекера, направлены с неуклонной последовательностью на то, чтобы с помощью искусственных, кажущихся им подходящими вспомогательных теорий сделать совершенно “ненужными” и лишними иррациональные числа, общепринятые со времен Пифагора и Платона, – вместо того чтобы исследовать и объяснить их согласно их природе» [5 с. 273]. Действительно, иррациональные числа и соответствующие им неисчислимые множества с актуально бесконечной мощностью оказываются все же исходным пунктом математического построения, а никак не придаточным: натуральный ряд в качестве именно готового ряда как объекта является завершенным и бесконечным. Однако его завершенность и бесконечность в качестве завершенного математического объекта не может быть получена изнутри самого ряда, сам рядникак не способен завершиться и стать бесконечным. В классических попытках вывода континуума уДедекинда и Вейерштрасса перепутаны местами причина и следствие. В их выводах (как и в разнообразных вариантах «аксиомы о бесконечном множестве» теории типов или разнообразных редакций теории множеств) используется завершенный бесконечный объект (множество натуральных чисел), который тем или иным образом отображается сам на себя, «давая» бесконечность как таковую, «бесконечность бесконечности» – континуум. Но счетная бесконечность множества натуральных чисел не получается из самого воспроизводства ряда – изнутри ряда он не предстает как целое, напротив, в качестве такового он может получиться только извне ряда, где таковое извне – лишь континуум (континуум-гипотеза). Последний является субъектом математического утверждения, т. е. его предельным интенсионалом и экстенсионалом, причиной, основанием его систематической работы. Теоретическое разворачивание этого понимания и будет, согласно Кантору, исследованием и объяснением иррациональных чисел согласно их природе и, как следствие, математики вообще.

Итак, Кантор показал необходимость посылки об актуальной бесконечности для математических суждений, охватывающих бесконечные и выделяемые из них конечные совокупности и своим охватом определяющих возможный опыт. (Для того чтобы конечная совокупность могла выступать в качестве такого рода объекта, требуется, чтобы всякая конечная совокупность могла быть расширена «до потенциальной бесконечности», что в свою очередь требует уже именно «актуальной бесконечности»). В этом смысле все математические положения являются ничем иным, как синтетическими суждениями a priori, т. е. своего рода метафизическими высказываниями в смысле И. Канта. Напомним, что синтетическими суждениями a priori называются такие суждения, которые высказываются о предметах возможного опыта общим и обязательным образом; в проблематическом же смысле – о теоретическом/должном мире вообще. При этом априорные синтетические суждения первого вида обеспечены суждениями второго вида: «позволительные» суждения о существовании конечного («феноменов») обеспечены «непозволительными» (в теоретическом смысле) суждениями о «бесконечном», ноуменальном, «мире вообще» (идеале или континууме как формальной и смысловой полноте существования в их совпадении; правда, здесь различение является бессмысленным, поскольку называемое «формальным» уже и есть «смысловое»). Такие суждения, с одной стороны, в качестве непреложно истинных связаны с актуально бесконечной областью определения в качестве уже заданного поля возможного опыта, с другой же – с конечностью человеческого raison [d'être], ибо «бесконечное» существо, согласно Канту, не имеет опыта. Это касается всех применений разума, в т. ч. и в первую очередь как«практического» par excellence – этического и эстетического. Содержание опыта держится на продолженности всей глубины возможных уточнений.

Л. Витгенштейн: отказ от внешнего обоснования математических операций

В «Замечаниях по основаниям математики» Л. Витгенштейн понимает математические предложения, в частности доказательства, в качестве «предложений о сущности (Wesen)», выступающих в качестве «границ эмпирии» и образующих понятия или понимание, т. е. как предложения о том, как то или иное (всякое «так» или «иначе») существует. «Граница эмпирии – образование понятий». Понятие означает здесь некоторую принудительность и долженствование, определяющиеся исключительно исходя из самого правила (из самого ряда), но не каким-либо внешним, например, экстенсиональным образом (как это происходит в случае легитимации математических высказываний). Доказательство по своей внутренней логике претендует на вечность (так должно быть всегда) и на всякий возможный опыт, однако опирается исключительно на свою власть и внутреннюю логику, иными словами – на возможности разворачивания в качестве такового. «Эффект доказательства состоит, я полагаю, в том, что человек попадает во власть новых правил» [3. с. 132].

Критерием доказательства является лишь оно само, а не опыт, опыт является результатом его применения: в этом заключается суть взаимообусловленности метода и способа рассмотрения. «Признание этих понятий (понятий математики – Г. В.) выражает уверенное ожидание определенного опыта» [3. с. 137]. Потому, согласно Л. Витгенштейну, «бесконечные» применения правил не могут каким-то внешним опытом опираться на бесконечность: «Используя правило для того или иного описания, и сам знаешь не больше, чем говоришь. То есть и не предвидишь использования этого правила в особом случае. Говоря “и т. д.” и сам не знаешь больше, чем “и т. д”», – напротив – только на себя. При этом оно может требовать внешней, готовой бесконечности для своего совершения, однако эта бесконечность в качестве заранее проработанной этим правилом располагается никогда не «вне» этого правила, на которое подобные (математические, метафизические правила) всегда и претендуют (другое им неинтересно), а лишь только внутри этого правила. Отечественный исследователь К. А. Родин поясняет точку зрения Витгенштейна следующим образом: «Для Витгенштейна нет такой “вещи”, как экстенсионально заданные – вне правил или алгоритма – бесконечные множества (подобные множества фигурируют в определении экстенсиональной функции как область определения функции и область значения функции: множество индивидов и множество случайных пропозиций соответственно). И экстенсиональные функции Витгенштейн отрицает потому, что для Витгенштейна не существует функции вне правил (курсив наш – Г. В.) соотнесения одного множества с элементами другого множества» [7. с. 184].

Искомая бесконечность становится сущей лишь ввиду решения о принятии правила в качестве действенного (вспомним евклидову просьбу о «принятии» в действие геометрических основоположений). Ее сущесть, ее действительность – игра в таковую. В этом — сущесть любого, чего угодно,на что претендует исполнение правила. Игра – это модус кантовского als ob, «как если бы», «можно и так». Любое «что», которое может называться и быть, образовано только внутри правила, в т. ч. и бесконечное «что» континуума, на обозрение которого претендует синтетическое суждение априори. В случае математики игра, в которую мы фактически играем, оказывается игрой вычисления, а значит такой игрой, которая возможна без всяких «оснований математики»: «Можно было бы сказать: математика состоит не из пропозиций – а из вычислений. Эмпирическая пропозиция обязательно истинна или ложна. Математическая пропозиция “25 × 25 = 625" верна в случае, если вычисление по определенным правилам дает соответствующий результат» [8. с. 203]. Никакой области «вне» правила, которую пытается тематизировать авторы различных программ в области оснований математики, нет; имеет место свобода разворачивания правил: «При чтении Витгенштейна нужно иметь в виду решающее различие между внутренними и внешними отношениями (любая доказанная пропозиция находится во внутренним отношении с предшествующими доказанными пропозициями, любая недоказанная выступает как бы внешней гипотезой). Вопрос перестает быть внешним вопросом – как только оказывается решаемым: устанавливается новая внутренняя взаимосвязь, которой раньше не было. Приведем аналогию: если автор романа говорит, что еще не решил, есть ли у главного героя сестра или брат – вопрос разрешим (и наличие, и отсутствие брата и сестры может быть приведено в согласие с уже написанной частью романа)» [6. с. 151].

Несмотря на полноту этой свободы, она не обладает полной совершенностью. Ее ключевое отличие от континуума – знание обрыва, завершенности. Завершенность эта, однако, не означает того, что все возможные ходы сделаны, а вся музыка – сыграна. Игра здесь подразумевает возможность начинания и возможность ему не быть (ничто). Континуум в известном смысле (задаваемым его правилом) не может не быть, ввиду чего он лишён важнейшей возможности отсутствия. В континууме не может задаваться неконтинуальное правило, он не знает «семейных сходств» – иными словами сингулярного и неуловимого, схватываемого во многих местах. Напротив, он знает только родовидовые отношения и является матрицей, правилом для них вообще. Другими словами, континуум задает структуру родовидового «что». Здесь будет уместно вспомнить диалектику «великих родов» в «Софисте» Платона: среди великих родов не представлено небытие. Понимание «актуальной бесконечности» как импликации правила оставляет возможность мыслить «и т.д.» как просто возможность продолжать и прерывать, а не как «потенциально-актуальную бесконечность». Возможность продолжать и прекращать – залог применимости правила как таковой, т.е. того, что составляет «сущность» правила: «Иными словами, “бесконечность” является свойством правила для производства ряда натуральных чисел, а не свойством (завершённого) множества всех натуральных чисел. В правило включена лишь возможность продолжать применение данного правила неопределённо долгое время; но правило не запрещает нам прекратить» [10. p. 182].

В этом смысле применение правила, в т. ч. и в математике полностью определено (оно имеет место), с одной стороны, и полностью не определено – с другой (это место совершенно неосязаемо: применение правила претендует на «внеположенность» области определения, некоторую принудительность в отношении неё, но это пространство создаётся лишь самим этим правилом). Однако «употреблять слово без основания не значит употреблять его неправильно» [3. с. 137]. В этом плане любое применение правила опирается на конечность своего применения (т. е. применимость), иначе говоря, на отсутствие всякой внешней опоры. Опора создается только правилом («дорогу осилит идущий»). Эта правильность будет не той, на которую претендует математика – такая математическая «правильность», с точки зрения Витгенштейна, является химерой. Ввиду этого обоснование математики, всегда требующее бесконечных совокупностей, перестает быть проблемой. Для того, чтобы применяться, математика должна быть недоо(-обо)снованной (с точки зрения правила бесконечного математического обоснования): «Витгенштейновский перебор случаев, когда анализ уводит в бесконечность, призван показать, что строительство правил и условий именно из-за их устроенности зависает в пустоте и на каждом шагу нечаянно нуждается в надежной неопределимости мира» [1. c. 338].