Translate this page:
Please select your language to translate the article


You can just close the window to don't translate
Library
Your profile

Back to contents

Software systems and computational methods
Reference:

Building models of the movement of objects in the pursuit problem and solving it in the "MathCAD" computational mathematics system

Bubeev Innokentii

PhD in Technical Science

Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management

670023, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. 40let Pobedy, 23, kv. 1

it_bubeev@mail.ru
Dubanov Aleksandr Anatol'evich

PhD in Technical Science

Associate Professor, Department of Geometry and Methods of Teaching Mathematics, Buryat State University

670033, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 42, aud. 330

alandubanov@mail.ru
Ayusheev Tumen Vladimirovich

Doctor of Technical Science

Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management

670033, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 42, aud. 330

atv62@bk.ru
Motoshkin Petr Vladimirovich

PhD in Technical Science

Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management

670033, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 42, aud. 730

mpv_mpv@mail.ru

DOI:

10.7256/2454-0714.2019.1.28454

Received:

20-12-2018


Published:

22-01-2019


Abstract: This article provides a description of the developed models of the behavior of objects in the pursuit problem, as well as the pursuer and the pursued. The purpose of the conducted research is the development of algorithms for autonomous robotic complexes. In the proposed behavior models, local dynamic coordinate systems are introduced, which are formed by the direction of motion of the objects. During a certain period of time, the object must decide in which direction it should move depending on the result of the analysis of the coordinates of the second object. According to the proposed models of the behavior of objects in the pursuit problem, programs have been written in the computer math system “MathCAD”, which can be found on the author’s website. Due to the fact that the object, when moving in space, cannot instantly change the direction of motion, in our problems “inertness” is modeled using the angular velocity of rotation. The results of the programs obtained animated images of the movement of objects, references to which are given in the text of the article.


Keywords:

pursuit task, pursuing object, object of prosecution, local coordinate system, dynamic coordinate system, dot basis, coordinate analysis, built-in solver, Fox, Rabbit


ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ В ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ В СИСТЕМЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ «MATHCAD»

  1. Введение. Постановка задачи

Рассмотрим задачу преследования на пересеченной местности, когда преследуемый объект («Кролик») и преследующий объект («Лиса») передвигаются в трехмерном пространстве с постоянными по модулю скоростями. В статье 1[1] рассматривалась модель, когда траектория движения «Кролика» была предопределенной. То есть координаты положения «Кролика» в определенный момент являлись известными. В такой модели предлагалось то, что вектор скорости «Лисы» будет направлен на «Кролика» или на его предполагаемое положение в определенный момент времени.

В данной статье предлагаются иные модели поведения как «Кролика», так и «Лисы». В предлагаемой модели поведения «Кролика» будет производиться анализ пространственного положения «Лисы», ее скорости и в зависимости от этого будет «приниматься» решение «Кроликом» о направлении его движения. Точно такие же рассуждения можно провести и в отношении модели поведения «Лисы».

2. К выбору системы координат объекта преследования «Кролика»

В данной статье основным является то, что выбор «решения» (направление движения), следует после анализа текущего положения в динамической системе координат. В модели поведения «Кролика» предлагается выбрать динамическую локальную систему координат, где:

  1. Центр локальной системы координат совпадает с текущими координатами горизонтальной проекции положения «Кролика» (рисунок 1).

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟⃗𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐(𝑇)=[𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)0] (1)

  1. Ось абсцисс локальной системы координат совпадает с горизонтальной проекцией скорости «Кролика» на текущий момент времени.

𝐸⃗1(𝑇)=1√(𝑑𝑑𝑇𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇))2+(𝑑𝑑𝑇𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇))2∙[𝑑𝑑𝑇𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)𝑑𝑑𝑇𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)0]𝐸⃗2(𝑇)=1√(𝑑𝑑𝑇𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇))2+(𝑑𝑑𝑇𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇))2∙[−𝑑𝑑𝑇𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)𝑑𝑑𝑇𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)0] (2)

  1. Ось ординат принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Локальная система координат является ортогональной, соответственно ось аппликат есть продукт векторного произведения векторов и .


_1_01

Рисунок 1- Локальная система координат "Кролика"

В нашей задаче явно выраженных зависимостей , не существует. В программе, размещенной на сайте 2[2], для модели траектории «Кролика», приведены упорядоченные наборы точек: , , , , где – функция, описывающая ландшафт местности по точечному базису, после выполнения процедур полиномиальной регрессии и сплайн-интерполяции. Данная процедура подробно описана в комментариях к программному коду на сайте автора 2[2], а также в статье 1[1]. Далее, для построения функциональной зависимости траектории «Кролика» от времени T, введен формальный параметр 𝑡, 𝑡𝑖=𝑖, 𝑖∈[0..𝑁]. Из формулы для сегмента длины дуги 𝑑𝑆2=𝑑𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡2+𝑑𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡2+𝑑𝑍𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡2 имеем следующее: 𝑑𝑡𝑑𝑆=1√(𝑑𝑑𝑡𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2+(𝑑𝑑𝑡𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2+(𝑑𝑑𝑡𝑍𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2.

Встроенный решатель систем обыкновенных дифференциальных уравнений системы «MathCAD» позволяет нам решить указанное дифференциальное уравнение в виде определения зависимости . Учитывая то, что мы рассматриваем случай движения с постоянной по модулю скоростью , введем в расчеты реальное время , . В расчетах нам понадобятся зависимости , , . Построение таких зависимостей указано в комментариях к программному коду на сайте автора 2[2], 3[3]. Учитывая все, приведенные выше условия, находим производные по времени координатных функций «Кролика». В результате имеем:

𝑑𝑑𝑇𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)=𝑉𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙𝑑𝑑𝑡𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡)√(𝑑𝑑𝑡𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2+(𝑑𝑑𝑡𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2+(𝑑𝑑𝑡𝑍𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2𝑑𝑑𝑇𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑇)=𝑉𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙𝑑𝑑𝑡𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡)√(𝑑𝑑𝑡𝑋𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2+(𝑑𝑑𝑡𝑌𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2+(𝑑𝑑𝑡𝑍𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑡))2

(3)

Полученные формулы (3) подставляем в формулы (2), для определения нового динамического локального базиса , , . Координаты центра локальной системы координат нам также известны. Поэтому, предварительные работы по построению динамической системы координат, можно считать выполненными.

_2

Рисунок 2 - Траектории «Лисы», «Кролика» в динамической системе координат «Кролика» (видео)

3. Траектория «Лисы» в динамической системе координат «Кролика»

Теперь нам нужно узнать, как будет выглядеть траектория «Лисы» на поверхности, заданной в виде . Поверхность, заданная в виде , при переходе в динамическую локальную систему координат , , с центром в точке
преобразуется согласно формулам (4) (рисунок2):

𝑅⃗𝑟𝑜𝑡(𝑇)=[(𝑅⃗𝑙𝑎𝑛𝑑(𝑇)−𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟⃗𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐(𝑇))∙𝐸⃗1(𝑇)(𝑅⃗𝑙𝑎𝑛𝑑(𝑇)−𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟⃗𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐(𝑇))∙𝐸⃗2(𝑇)(𝑅⃗𝑙𝑎𝑛𝑑(𝑇)−𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟⃗𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐(𝑇))∙𝐸⃗3(𝑇)] (4)

В источнике [5] размещено видео, где можно будет посмотреть динамически меняющуюся со временем базовую поверхность из системы координат «Кролика». Также, обратим внимание на координаты текущего положения «Кролика». Как и предполагалось, абсцисса и ордината равны нулю, изменяется во времени только аппликата. В источнике [6] представлена картина преследования «Лисой». Для дальнейшей работы, нам необходимо будет увидеть картину преследования на плоскости, в горизонтальной проекции. В источнике [7] представлено анимированное изображение, как в динамической системе координат, так и в мировой. На рисунке 3 представлен скриншот картины преследования на горизонтальной плоскости проекций в мировой системе координат.

_3

Рисунок 3 - Преследование в МСК. Горизонтальная плоскость проекций

На рисунке 4 представлен скриншот картины преследования уже в динамической системе координат «Кролика».

_4

Рисунок 4 - Преследование в динамической системе координат

4. Моделирование поведения «Кролика» и «Лисы». Ситуация на плоскости

Нам сейчас необходимо рассмотреть «плоский» случай для наглядности демонстрации подхода к выбору модели движения «Кролика». Пусть «Лиса» преследует «Кролика» на плоскости. «Кролик» движется с постоянной по модулю скоростью .

_5

Рисунок 5 - Система координат в следующий момент времени

На рисунке 5 схематически представлена смена динамической локальной системы координат, связанной с «Кроликом», в моменты времени и . В момент времени динамическая система координат задается векторами и , а центр координат задается точкой . В момент времени система координат «кролика» переходит в положение , с центром в точке . На рисунке 5 представлена ситуация в мировой системе координат , . Далее, нам следует перейти в систему координат «Кролика» , , (рисунок 6).

_6

Рисунок 6 - Система координат "Кролика"

На данном рисунке 6 мы предположили, что «Лиса» приближается к «Кролику» из II четверти плоскости. Как уже предполагалось, «Кролик» расположен в точке . У нас время поделено на достаточно малые промежутки . За это время «Кролик» переходит из положения в положение : . Линия, соединяющая точки и составляет с направлением вектора угол . Но в нашей модели «Кролик» не может за промежуток времени изменить направление движения на угол . Будем считать, что угол , где - некоторое пороговое значение. Если «Кролик» будет иметь угловую скорость вращения , тогда вектор скорости повернется на угол . Мы имеем то, что в системе координат , , , координаты векторов , , будут выражены следующим образом:

𝐸⃗1′=[cos(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)−sin(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]𝐸⃗2′=[𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]𝐶⃗′=𝑉𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇∙[cos(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)−sin(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)] (5)

В мировой системе координат , вектор будет выглядеть так: . Где , базисные векторы , в системе координат , , , а , - текущие координаты «Кролика».

_7

Рисунок 7 - Система координат «Лисы»

Следует пояснить, что: , , формируются текущим направлением скорости «Кролика». А компоненты векторов , после вычислений:

,где . Более детально этот момент описан на ресурсе 4[4]. В конечном виде векторы , и новый центр координат в мировой системе координат , будут выглядеть так:

𝐶⃗𝑛𝑒𝑤=[∆𝑇∙[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]∙[𝑉𝑥−𝑉𝑦]+𝑥𝑟∆𝑇∙[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]∙[𝑉𝑦𝑉𝑥]+𝑦𝑟]𝐸⃗1𝑛𝑒𝑤=1𝑉𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡[[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]∙[𝑉𝑥−𝑉𝑦][𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]∙[𝑉𝑦𝑉𝑥]]𝐸⃗2𝑛𝑒𝑤=1𝑉𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡[[𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]∙[𝑉𝑥−𝑉𝑦][𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙∆𝑇)]∙[𝑉𝑦𝑉𝑥]] ( (6)

Формулы (6) применимы в том случае, если «Лиса» в динамической системе координат , , приближается из II четверти (рисунок 6), при условии некоторого порогового значения.

_8

Рисунок 8 - Координаты нового центра координат в мировой системе координат

На рисунке 8 представлены возможные значения в зависимости от того из какой четверти происходит приближение «Лисы» и от значения угла .

Аналогичные рассуждения можно провести и в отношении поведения «Лисы». Сформируем систему координат , , (рисунок 7). Как и прежде, векторы базиса «Лисы» формируются ее направлением движения: , , , . В случае, показанном на рисунке (рисунок 7), в системе координат , , «Кролик» находится в Iчетверти. Линия, соединяющая «Лису» и «Кролика», составляет с вектором угол . По истечению промежутка , «Лиса» переместится на расстояние . В направлении вектора :

𝑄⃗1′=[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇)𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇)],𝑄⃗2′=[−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇)],𝑅⃗𝑓𝑜𝑥′=𝑣𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇∙[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇)𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑓𝑜𝑥∙∆𝑇)] (7)

Напомним, что формулы (7) выражены в системе координат , , .

_9

Рисунок 9 - Координаты нового положения «Лисы» в мировой системе координат

Тогда, как и в случае с «Кроликом», мы можем представить (рисунок 9) координаты нового положения «Лисы» в мировой системе координат ( - пороговое значение для угла , (рисунок 7). На рисунке 10 представлены результаты работы программы по алгоритмам, работа которых показана на рисунке 8, 9.

_10

Рисунок 10 - Результаты работы программы. Моделирование на плоскости

Кроме того, мы создали плейлист [8], в котором частично отображена зависимость ситуации преследования от начальных данных, будь то взаимное расположение, углы направления скоростей и их абсолютные величины.

5. Модели поведения в задаче преследования на пересеченной поверхности

Мы создали модели поведения «Лисы» и «Кролика» на плоскости. Аналогичные рассуждения можно провести и в трехмерном пространстве, при моделировании задачи преследования на поверхности. Самое простое, что можно сделать, это спроецировать ход решения задачи на плоскости на поверхность, что и показывается следующем видео [9]. Но простая проекция с плоскости на поверхность не будет удовлетворять условиям передвижения объектов по поверхности с постоянной скоростью.

_11

Рисунок 11 - Модель движения по поверхности («Кролик»)

Рассмотрим движение «Кролика» по поверхности. На рисунке 11 показана касательная плоскость к точке поверхности, где в определенный момент времени находится «Кролик». В данной точке вводится локальная динамическая система координат: , где - скорость «Кролика», а – нормаль к плоскости . Как и прежде, «Кролик» будет анализировать положение «Лисы», чтобы сделать следующий шаг. Для этого из точки положения «Лисы» строится ортогональная проекция на плоскость (рисунок 11). Относительно точки применяется аналогичная логика, что есть в блок-схеме, приведенной на рисунке 8. Ортогональная проекция точки положения «Лисы» на плоскость рассчитывается следующим образом:

𝑟⃗𝑓𝑜𝑥=𝑅⃗𝑓𝑜𝑥+(𝑅⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡−𝑅⃗𝑓𝑜𝑥)∙𝑛⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡𝑛⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙𝑛⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡∙𝑛⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡 (8)

Для того, чтобы производить анализ компонент вектора «Лисы» (8), проекцию вектора необходимо преобразовать в локальную динамическую систему координат «Кролика»:

[𝑥𝑓𝑦𝑓]=[(𝑟⃗𝑓𝑜𝑥−𝑅⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡)∙𝑉⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡[𝑉⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡](𝑟⃗𝑓𝑜𝑥−𝑅⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡)∙𝑛⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡×𝑉⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡|𝑛⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡×𝑉⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡|] (9)

_12

Рисунок 12 - Модель движения по поверхности («Лиса»)

После данного преобразования, мы можем произвести анализ координат по алгоритму, представленному на рисунке 8, для выбора дальнейшего движения «Кролика». Аналогичные рассуждения мы можем произвести в отношении движения «Лисы». Ортогональная проекция точки положения «Кролика» на плоскость (рисунок 12) рассчитывается так: ется так: 𝑟⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡=𝑅⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡+(𝑅⃗𝑓𝑜𝑥−𝑅⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡)∙𝑛⃗𝑓𝑜𝑥𝑛⃗𝑓𝑜𝑥∙𝑛⃗𝑓𝑜𝑥∙𝑛⃗𝑓𝑜𝑥 (10).

Проекцию положения «Кролика» (10) мы можем преобразовать в систему координат «Лисы»:

[𝑥𝑟𝑦𝑟]=[(𝑟⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡−𝑅⃗𝑓𝑜𝑥)∙𝑉⃗𝑓𝑜𝑥[𝑉⃗𝑓𝑜𝑥](𝑟⃗𝑟𝑎𝑏𝑏𝑖𝑡−𝑅⃗𝑓𝑜𝑥)∙𝑛⃗𝑓𝑜𝑥×𝑉⃗𝑓𝑜𝑥|𝑛⃗𝑓𝑜𝑥×𝑉⃗𝑓𝑜𝑥|] (11).

Проанализировать положение «Кролика» и принять соответствующее решение в отношении направления движения «Лиса» сможет согласно алгоритму, описанному на рисунке 9. На видео [10] можно посмотреть результат работы программы в системе «MathCAD», написанной по алгоритму, изложенному в этом параграфе.

6. Выводы

В данной статье предлагаются математические модели поведения преследующего объекта («Лисы») и преследуемого («Кролика»). Предложены модели поведения объектов на плоскости и на поверхности. Основой моделей поведения служит ввод динамических систем координат, как для «Лисы», так и для «Кролика». Системы координат формируются векторами скорости движения. Основным моментом является ввод угловой скорости вращения как «инертности» движения. Дальнейшей перспективой развития предложенных моделей нами видится ввод зависимости между угловой скоростью и скоростью движения. Другими словами, чем выше скорость, тем больше инерция. Мы считаем, что результаты, предложенные в данной статье, могут быть востребованы разработчиками автономных робототехнических комплексов, выполняющими решение задач преследования.

References
1. Dubanov A. A. Zadacha presledovaniya. Reshenie v sisteme vychislitel'noi matema-tiki MathCAD, ZhURNAL "INFORMATsIONNYE TEKhNOLOGII" №4. Tom 24. 2018, C. 251–255
2. ttp://dubanov.exponenta.ru Razdel «Model' povedeniya v zadache presledovaniya»
3. http://dubanov.exponenta.ru Razdel «Stat'ya «FoxandRabbit»
4. http://dubanov.exponenta.ru/russian/book_rus.htm Razdel «Preobrazovanie bazisa»
5. Video «Dinamicheskii bazis» https://youtu.be/KsMZ9Zy8XRs
6. Video «Smena bazisa, presledovanie» https://www.youtube.com/watch?v=L5Z0MCDIlEs
7. Video «Smena bazisa, presledovanie, ploskost'» https://youtu.be/1nNlN-U8WyY
8. Video, pleilist: «Zadacha presledovaniya. Model' povedeniya (adaptivnaya)» https://www.youtube.com/playlist?list=PLfGCUhhiz5wuPh-rKHWYvi-RZf9M215bq
9. Video «Prostaya proektsiya presledovaniya s ploskosti na poverkhnost'» https://youtu.be/BAew7xTw-iU
10. Video «Modeli povedeniya «Krolika» i «Lisy» na poverkhnosti https://www.youtube.com/watch?v=QrKpJoiyB0o